Question

问题探究（本题10分）：

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点，并说明理由．

（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，

并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它

裁出两块全等的．面积最大的△APB和△CP'D钢板，且∠APB＝∠CP'D＝60°．

请你在图③中画出符合要求的点和P和P'．

Answer

见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点O，O即为所求；

（2）①以AB为边在正方形内作等边△ABP；②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．因为在圆O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°，所以弧EF上的所有点均为所求的点P；

（3）因为∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面积最大，所以同（2）：

①连接AC；②以AB为边作等边△ABE；③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；

④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．

试题解析：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°.

∴点P为所求

（2）如图②，画法如下：

①以AB为边在正方形内作等边△ABP；

②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F。

∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°,

∴弧EF上的所有点均为所求的点P

（3）如图③，画法如下：

①连接AC；

②以AB为边作等边△ABE；

③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；

④在AC上截取AP′＝CP。则点P、P′为所求

（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）

考点：作图—应用与设计作图．