Question

（本题共6分）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如右下图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题：

（1）如果剪100次，共能得到__________个正方形．

（2）如果剪次共能得到个正方形，试用含有、的等式表示它们之间的数量关系．

______________________________

（3）若原正方形的边长为1，设表示第次所剪的正方形的边长，

①试用含的式子表示=                               ．

②试猜想与原正方形边长的数量关系，并用等式写出这个关系：__________________________________________．

Answer

表格：10，13；（1）301；（2）；（3）① ；② ．

【解析】

试题分析：（1）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可；

（2）根据得到的规律得到通项公式，然后代入求值即可；

（3）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；

②利用发现的规律，代入数值即可求得答案．

试题解析：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，

剪两次有7个小正方形，

剪三次有10个小正方形，

剪四次有13个小正方形，

规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，

故第n个共有4+3（n﹣1）=3n+1个，

（1）令n=100得3n+1=3×100=301；

（2）剪n次共能得到bn个正方形，则用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系为；

（3）第一次所剪的正方形的边长为，

第二次所剪的正方形的边长为；

第三次所剪的正方形的边长为，

…

第n次所剪的正方形的边长；

（4）=，

故答案为：（1）301；（2；（3）①；②．

考点：规律型．