Question

（本题满分12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.

（1）求证：∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）2.5，2.4．

【解析】

试题分析：（1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；

（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；

（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．

试题解析：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF，即P是线段AF的中点；

（3）【解析】
连接CD，

∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，

∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．

考点：圆的综合题．