Question

（本题满分10分） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE＝OE＝2．

（1）求证：∠A＝2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（結果保留和根号）．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；

（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O切线，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，

∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；

（2）【解析】
∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=，

∴阴影部分的面积S=S△ODB﹣S扇形DOE=．

考点：1．切线的性质；2．扇形面积的计算．