Question

（本题满分11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．

（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；

（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；

（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

Answer

（1）⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；（2）直线l的解析式为y=x+6；（3）N点坐标为（，）；OE=7．

【解析】

试题分析：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，

∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，（1分）

∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；（3分）

（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，

∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，

而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，

∴Rt△ABO∽Rt△BCO，

∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，

解得，

∴直线l的解析式为y=x+6；（6分）

（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，

∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，

∴ND=OD，∴ND∥OB，

∴△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AD：AO，

∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，

∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为（，）；（8分）

∵△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，

∴BN=10﹣=，

∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，

∴△BON∽△EAN，

∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，

∴OE=ON+NE=+=7．（11分）

考点: 圆的综合运用