Question

（本题满分6分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C．

（1）求证：OD⊥AC；

（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形内角和定理可以证明∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，则BC是圆的切线；

（2）在直角△ADO中利用三角函数求得OD的长．

解答：证明：（1）∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，

∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，∴∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵ ⊙O中，OD⊥AC，∴AD=AE=4，∵cosA＝，∴AO=5，∴OD=3．

考点：1．切线的性质；2．解直角三角形．