Question

（9分）小学我们就学过，四个内角都是直角的四边形叫做长方形，长方形的对边相等且平行．如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②③为备用图）

（1）当P在AB上运动，t=_______s时，△APE的面积为长方形面积的.

（2）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？

（3）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？

Answer

（1）4；（2）t=3或；（3）t=5或6或．

【解析】

试题分析：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，根据题意得：△APE的面积=AP•AD=，从而求得t值；

（2）当P运动到AB中点时AEP为直角三角形，此时角APE为直角，t=3；还有一种情况，当P运动到BC上时，角AEP为直角时利用相似三角形求得AP的长即可求得t值；

（3））第一种情况，当P在AE垂直平分线上时，AP=EP；第二种情况，P运动到点B上时APE为等腰三角形，此时AE=EP，t=6；第三种情况，P在AB上，AP=PE；

试题解析：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，

根据题意得：AP=t，∴△APE的面积==AP•AD=，解得：t=4，

∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的；

（2）显然当t=3时，PE⊥AB，

∴△APE是直角三角形，

当P在BC上时，△ADE∽△ECP，此时CP：de=CE：AD，解得：CP=，

∴PB=BC﹣PC=，∴；

∴t=3或时，△APE为直角三角形；

（3）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP，

过P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，∴AE=5，∴AQ=2.5，

由△AQP∽△EDA，得：AP：AE=AQ：DE，∴AP：5=2.5：3，解得：AP=，∴t=；

②当EA=EB时，AP=6，∴t=6，

③当AE=AP时，∴t=5．

∴当t=或5或6时，△APE是等腰三角形．

考点：四边形综合题．