Question

（9分）请阅读材料：

（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′.根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=_____°，等边△ABC的边长为_____.

（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer

（1）150，；（2）135°，．

【解析】

试题分析：根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根据勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

试题解析：（1）∵等边△ABC，∴∠ABC=60°，

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，∴，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，∴AM=，由勾股定理得：AB=，

故答案为：150°，．

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=(180°﹣90°)=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，∴，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；∴∠BPC=135°，正方形边长为．

答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．

考点：1．等腰三角形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．含30度角的直角三角形；4．正方形的性质．