Question

（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形?

Answer

（1）证明见试题解析；

（2）；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；

（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；

（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．

试题解析：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，

∴，∴△DHQ∽△ABC．

（2）①如图1，当时， ED=，有相似得QH=，此时

．

②如图2，当时，有相似得QH=，ED=，

此时．

∴y与x之间的函数解析式为

（3）①如图1，当时，

若DE=DH，∵有相似DH=AH=， DE=，∴=，．

∵∠DEH>900显然ED=EH，HD=HE不可能；

②如图2，当时，

若DE=DH，=，；

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴，，．

∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.

考点：1．二次函数的最值；2．等腰三角形的判定；3．相似三角形的判定与性质．