Question

（本题满分8分）如图所示，AC⊥AB，，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O 上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设．

（1）当时，求弧BD的长；

（2）当时，求线段BE的长；

（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是________           _.（直接写出答案）

Answer

（1）；（2）；（3）＜＜．

【解析】

试题分析：（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；

（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，继而求得答案；

（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围．

试题解析：（1）连接OD，在⊙O中，∵∠DAB=18°，∴∠DOB=2∠DAB=36°．

又∵AB=，∴；

（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠DAB=90°，AB=，

∴BD=，AD=3．

又∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∴∠CAD+∠DAB=90°，

又∵∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，

又∵DE⊥CD，∴∠CDE=90°，∴∠CDA+∠ADE=90°，

又∵∠ADE+∠EDB=90°，∴∠CDA=∠EDB，∴△CDA∽△EDB，

∴，又∵AC=2， ∴，∴；

（3）如图，当E与A重合时，

∵AB是直径，AD⊥CD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴C，D，B共线，

∵AC⊥AB，∴在Rt△ABC中，，AC=2，∴tan∠ABC=，∴∠ABC=30°，

∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，

当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，

∵0°＜α＜90°，∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．

故答案为：60°＜α＜90°．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．弧长的计算．