Question

（本题满分7分）如图，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：

（1）第④个图形中阴影部分小正方形的个数为    ；

（2）是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的 ？如果存在，是第几个图形；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) 当n=4时，4×（4+1）+2=22个；（2）存在，第十个

【解析】

试题分析：（1）观察图形，得到规律，利用规律求得第四个图形的阴影部分的小正方形的个数；

（2）根据得到的规律列出一元二次方程求解，若能求得正整数即可，否则不可．

试题解析：（1）第一个图形阴影部分小正方形的个数为1×2+2=4个；

第二个图形阴影部分小正方形的个数为2×3+2=8个；

第三个图形阴影部分小正方形的个数为3×4+2=14个；

…

第n个图形阴影部分小正方形的个数为n（n+1）+2=n2+n+2；

当n=4时，4×（4+1）+2=22个；

（2）存在，理由是：

根据题意得n2+n+2＝ (n+2)2，

整理得2n2-19n-10=0，

解得：n1＝（舍去），n2=10．

所以，第十个图形阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的．

考点:1. 一元二次方程的应用；2.规律型：图形的变化类．