Question

如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（  ）

A．3个           B．4个             C．5个            D．6个

Answer

B

【解析】

试题分析：设OP=x（x＞0），分三种情况：

一、若点P在AB的左边，有两种可能：

①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD，

则（x-2）：3=4：（x+2）

解得x=4，

∴点P的坐标为（-4，0）；

②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD，

则（x-2）：（x+2）=4：3

解得：x=-14

不存在．

二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：

①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，

∴4：3=（x+2）：（2-x）

解得：x=，

∴点P的坐标为（，0）；

②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，

∴4：（2-x）=（x+2）：3，

方程无解；

三、若点P在CD的右边，有两种可能：

①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，

∴4：3=（2+x）：（x-2），

∴x=14，

∴点P的坐标为（14，0），

②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，

∴4：（x-2）=（x+2）：3，

∴x=4，

∴点P的坐标为（4，0）；

∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．共4种情况，

故选B

考点:1. 相似三角形的性质；2.坐标与图形性质．