Question

（本题9分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．

（1）求证：∠BQM=60⁰．

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？

请你对上面三个问题作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①  ；②  ；③  ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

Answer

(1)证明正确得3分；(2)①是，②是，③否，每个1分，共3分②或③证明正确一个得3分.

【解析】

试题分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个角相等，三条边相等，利用SAS得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用外角性质及等量代换即可得证；（2）①是真命题，条件与结论交换后，利用ASA得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；②是真命题，利用外角的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等式的性质变形即可得证；③否真命题，利用HL得到直角三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AMB=∠BNC，根据直角三角形BNC中两锐角互余，利用等量代换及垂直的定义判断得到∠BQM=90°．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在△ABM和△BCN中， BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；（2）①是；②是；③否；若选择①，已知：∠BQM=60°，求证：BM=CN，证明：∵∠ABM=∠ABQ+∠CBQ =60°，∠BQM=∠ABQ+∠BAQ=60°，∴∠BAQ=∠CBQ,在△ABM和△BCN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠C=60°，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴BM=CN；若选择②，证明：如图，在△ACM和△BAN中，CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，∴∠BQM=60°；若选择③，证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中， BM=CN， AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），∴∠AMB=∠BNC，又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，则∠BQM=90°．故答案为：①是；②是；③否．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．