Question

（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动．

（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？

（2）连PD，经过多长时间△PQD是等腰三角形？

Answer

（1）或；（2）或2或或．

【解析】

试题分析：（1）作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解；

（2）可分两种情况进行讨论，当P在Q上方时，过Q引AB的垂线，由于PQM是等边三角形，那么我们可以用t的值表示出PM的一半，然后根据∠QPM=60°，用正切函数表示出等边三角形底边一半与底边上的高的比，然后根据AD的长求出t的值．

当P在Q下方时，方法同上，只不过表示等边三角形底边一半的时候稍有不同．

试题解析：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，

作PH⊥CD，垂足为H，

则PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t．

∵PH2+HQ2=PQ2，

可得：（16﹣5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6．

答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm；

（2）过Q作QN⊥AB于N，设运动的时间为t，那么AP=3t，CQ=BN=2t，∴PN=16－3t－2t=16－5t，QD=16－2t，

∴，，

①当PD=DQ时，，整理得：，解得：（负数舍去），∴；

②当PD=PQ时，，整理得：，解得：∴（舍去），；

③当PQ=DQ时，，整理得：，解得：，∴，；

∴或2或或．

考点：1．一元二次方程的应用；2．几何动点问题；3．等腰三角形的判定．