Question

（本题满分6分）如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC＝CP．

（1）求证：CP是⊙O的切线；

（2）若PC＝6，AB=4求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P=30°，即可证明；

（2）阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积．

试题解析：（1）连接OC．

∵AB是⊙O的直径，∴AO=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COP=2∠ACO=60°，

∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠P=30°，∴∠A=∠P，∴AC=PC；

（2）在Rt△OCP中，tan∠P=，∴OC=，

∵S△OCP=CP•OC=且S扇形COB=2π，

∴S阴影=S△OCP﹣S扇形COB=．

考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．