Question

（10分）如图，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB＝4，∠BAE＝30º，求AE的长；

（3）在（1）（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD；

（2）由直角三角形的性质，即可求得；

（3）根据相似三角形的对应边成比例，求得．

试题解析：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°．

∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA．

∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED．∴△ABF∽△EAD．

（2）【解析】
∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，

∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE．

（3）【解析】
∵△ABF∽△EAD，∴AB：AE=BF：AD，4：=BF：3，∴BF=．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．