Question

（本题8分）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．

（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；

（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上，求a的值.

Answer

（1）θ=30°（2）a=8

【解析】

试题分析：（1）延长ND交OA的延长线于M，根据折叠性质得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由点D为AB的中点得到D点为MN的中点，所以OD垂直平分MN，则OM=ON，根据等腰三角形的性质得∠MOD=∠NOD=θ，则∠θ+∠θ+∠θ=90°，计算得到∠θ=30°；（2）作ED⊥OA于D，根据折叠性质得AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，则∠A=45°，所以△ADE为等腰直角三角形，则AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．

试题解析：：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案为30°；（2）若点E四边形0ABC的边AB上，∴AB⊥直线l 由折叠可知，OD=OC=5，DE=BC=3．∵θ=45°，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=3，∴OA=OD+AD=5+3=8，∴a=8

考点：翻折变换（折叠问题）．