Question

（本题8分）如图1，在四边形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分∠ABC．

（1）求证：AD=DC；

（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC= 60^O，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC；（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．

试题解析：（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．

考点：1.等边三角形的判定；2.等腰三角形的判定与性质．