Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是该半圆上第一象限内的一个动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使BC=CD，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、线段AC于点E、F，E为垂足，连结OF．

（1）当∠CAB=30°时，求弧BC的长；

（2）当AE=6时，求弦BC的长；

（3）在点C运动的过程中，是否存在以点O、E、F为顶点的三角形与△DEB相似？若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） ;（2） ；（3） E（,）

【解析】

试题分析：（1）直接根据A、B两点的坐标求出AB的长，连接OC，再根据∠CAB=30°求出∠BOC的度数，由弧长公式即可得出结论；

（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

（3）设E（x，y），由（2）知，2BC2=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB与△FEO∽△DEB两种情况讨论即可．

试题解析：（1）∵点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），

∴AB=10．

连接OC，

∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=60°，

∴

（2）∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠AEF=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AC=90°，

∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．

∵∠AFE=∠CFD，

∴∠FAE=∠EDB，

∴△ABC∽△DBE，

∴，

∵BC=CD，

∴，

解得BC=；

（3）设E（x，y），

∵，

∴2BC2=AB•BE，即BC=，

∴BD=2BC=2．

当△OEF∽△DEB时，∠OFE=∠DBE，

∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，

∴∠AFE=∠DBE，

∴∠OFE=∠AFE，

∵∠AFE＞∠OFE，

∴此种情况不成立；

当△FEO∽△DEB时，∠OFE=∠BDE=∠FAE，

∴△FAE∽△OFE∽△BDE，则，，

即，

∴y2=x2+5x①，②，

①②联立得，，

∴E（,）

考点：圆的综合题．