Question

（本题满分8分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC．

（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．

①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；

②若AM＝，BM＝，AB＝，试利用图①验证勾股定理＝；

（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

Answer

（1）①MN=BM+CN，证明见试题解析；②证明见试题解析；（2）BM = MN+CN．

【解析】

试题分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，进而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．

试题解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，

∴ab+c2+ab=（a+b）2，∴a2+b2=c2；

（2）MN=BM﹣CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AN﹣AM=BM﹣CN．

考点：全等三角形的判定与性质．