Question

如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

Answer

（1）△ABC是等腰直角三角形．理由见解析；（2）DE=AD+BE．证明见解析；（3）DE=BE-AD．证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断△ABC的形状；

（2）（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．

试题解析：（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）DE=AD+BE．理由如下：

在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC+CE=BE+AD，

即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：

在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=BE-AD．

考点：1等腰三角形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质．