Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上的一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线上、x轴下方是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）由求出点A,C的坐标，然后带入，解方程组即可；（2）求出直线BC的解析式是y＝x－3，根据点M在直线BC 上，设M（x，x－3），则E（x，x2－2x－3）

，表示出线段ME的长，用配方法可求出最大值；（3）设在抛物线x轴下方存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标，然后判断点P是不是在抛物线上即可.

试题解析：【解析】
（1）当y＝0时，－3x－3＝0，x＝－1，∴A（－1, 0）．

当x＝0时，y＝－3，∴C（0，－3）．

∵抛物线过A，C两点，

抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.

当y＝0时， x2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3.

∴ B（3, 0）．

（2）由（1）知 B（3, 0） , C（0，－3），

直线BC的解析式是y＝x－3.

设M（x，x－3）（0≤x≤3），则E（x，x2－2x－3）

∴ME＝（x－3）－（ x2－2x－3）＝－x2＋3x＝－2＋.

∴当x＝时，ME的最大值为.

（3）不存在．由（2）知 ME 取最大值时，

ME＝， ∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM.∴P1或 P2.

当P1时，由（1）知y＝x2－2x－3＝－3≠－，∴P1不在抛物线上．

当P2时，由（1）知y＝x2－2x－3＝0≠－，

∴P2不在抛物线上．

综上所述：在抛物线上x轴下方不存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形

考点：1.一次函数；2.二次函数；3.平行四边形；4.配方法.