Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm²？说明理由．由此思考：△PBQ的面积最多为多少cm²？

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）设运动t秒后△PBQ的面积等于4，用t表示出BP、BQ的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可；（2）在△PBQ中，根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2，把BP、BQ代入可得方程，解方程即可；（3）根据三角形的面积公式，得， t（5-t）=8， t2-5t+8=0，然后判断方程根的情况，方程无根说明△PBQ的面积不能等于8cm2.

试题解析：设运动t秒后△PBQ的面积等于4，根据题意，知BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．

（1）根据三角形的面积公式，得

，t（5-t）=4， t2-5t+4=0， 解得t=1或4秒．

故1或4秒后，△PBQ的面积等于4cm2．

（2）根据勾股定理，得

PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25，

5t2-10t=0， ∵t≠0， ∴t=2．

故2秒后，PQ的长度等于5cm．

（3）根据三角形的面积公式，得

， t（5-t）=8， t2-5t+8=0，

△=（-5）2-4×1×8=-7＜0．

故△PBQ的面积不能等于8cm2．

∵t（5-t）=-（t-2.5）2+6.25，∴△PBQ的面积最多为6.25cm2．

考点：1.勾股定理；2.一元二次方程；3.配方法.