Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上的一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）由OD⊥AC得所以∠CBD＝∠ABD，可证；（2）根据题意得出∠ODB＝∠O B D=∠DBC =∠A=30°,由 AB是⊙O的直径，得∠C=90°,所以BC=AB，而OD=OB，得证.

试题解析：证明：（1）∵OD⊥AC，OD为半径，

∴∴∠CBD＝∠ABD，（2分）

∴BD平分∠ABC.（3分）

（2）∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.（4分）

又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，

∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.（5分）

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

则在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，∴BC＝OD.（7分）

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.直角三角形的性质.