Question

（本小题满分9分） 如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t<49时，求S与t的函数关系式．

Answer

（1）见解析；（2）20（3）

【解析】

试题分析：（1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；

（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；

（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；

一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；

二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；

三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；

所以本题要分三种情况讨论：

①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；

②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；

③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式．

试题解析：证明：∵四边形EFPQ是矩形，

∴EF∥QP

∴

又∵AD⊥BC，

∴AH⊥EF；

∴=；

（2）【解析】
由（1）得=，∴AH=x ∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣x

∴=EF•EQ=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣5）2+20

∵﹣＜0，

∴当x=5时，有最大值，最大值为20；

（3）【解析】
如图1，由（2）得EF=5，EQ=4

∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．

∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9

如图2，当0≤t＜4时，

设EF、PF分别交AC于点M、N，

则△MFN是等腰直角三角形；

∴FN=MF=t

∴S= =20﹣t2=

考点：三角形相似，矩形的面积，二次函数