Question

（10分）如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c，然后解方程组可得出b，c的值；（2）根据题意得：A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称，所以直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，求出直线BC解析式，把对称轴x=﹣1代入，可求出y的值，即可知点Q的坐标.

试题解析：【解析】
（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴ ∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）存在

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称

∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐标为：（0，3） 直线BC解析式为：y=x+3

Q点坐标即为 解得， ∴Q（﹣1，2）

考点：二次函数综合题.