Question

（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作经过点C的直线CD的垂线，垂足为E（即BE⊥CD），BE交⊙O于点F，且BC平分∠ABE.

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若AB=10，CE=4，求线段EF的长.

Answer

（1）连接OC证CD⊥OC（2）EF=2

【解析】

试题分析：（1）连接OC，证CD⊥OC即可，因为BE⊥CD，所以只要证OC∥BE即可，而根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB=∠EBC，则OC∥BE；（2）连接AC,则△ABC∽△CBE,设AC=x, ，由勾股定理可得，由图知AC＜BC,所以，BC=,BE=8,由切割线定理可求出EF.

试题解析：（1）连接OC．∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，又∵∠EBC=∠ABC，∴∠OCB=∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AC,因为AB是直径，所以∠ACB＝90°, 又BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE,设AC=x, 所以，由勾股定理可得，由图知AC＜BC,所以，BC=,BE=8,由切割线定理得：,所以，所以EF=2.

考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的性质与判定；4.切割线定理．