Question

已知一元二次方程的一根为2．

（1）求q关于p的关系式；

（2）求证：抛物线与x轴总有交点。

（3）当p=－1时，（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A在B的左侧，若P点在抛物线上，当=4时，求P点的坐标．

Answer

（1）q=-2p-5；（2）证明见解析；（3）p1（1-，3-），p2（1+，3+）．

【解析】

试题分析：1）将2代替一元二次方程x2+px+q+1=0中的x即可得到pq之间的关系式；

（2）证明抛物线与x轴总有交点即可证明其根的判别式中大于零即可；

（3）利用p=-1求得抛物线的解析式，利用围成的三角形的面积求得P点的坐标即可．

试题解析：（1）【解析】
∵方程的根为2，

∴4+2p+q+1=0，

∴q=-2p-5；

（2）证明：△=p2-4（q+1），

=p2-4（-2p-5+1），

=p2+8p+16，

=（p+4）2，

∵（p+4）2≥0，

∴△≥0，

∴抛物线y=x2+px+q+1与x轴总有交点；

（3）【解析】
当p=-1时，q=-2×（-1）-5=-3，

∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2．

∵B（2，0）C（0，-2），

∴BC=2，∠OBC=45°．

∵S△PBC=4．

∴ BC•hBC=4．

∴hBC=2．

过B点作BD⊥BC交y轴于点D，

∴DO=BO=CO，

∴D点的坐标为：（0，2），

∴BD=2，

过D点作DE∥BC交x轴于点E，

∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90°，

∴∠EDO=45°，

∴E（-2，0），

设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴ ，

∴解得，

∴直线DE的解析式为y=x+2．

设直线DE与抛物线的交点P（x，y），

∴ ，

∴， ，

∴p1（1-，3-），p2（1+，3+）．

考点：二次函数综合题．