Question

如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xoy中，点O为原点，点B在反比例函数（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．

（1）求反比例函数的关系

（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？

（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=；（2）S=-（t-2）2+4，当t=2时，△BEF的面积最大；（3）（，0）或（0，）．

【解析】

试题分析：（1）首先利用三角形面积求出正方形边长，进而得出B点坐标，即可得出反比例函数解析式；

（2）表示出△BEF的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；

（3）①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，-），经过点E、F1作直线求出图象与x轴交点坐标即可；

②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（-，4），经过点E1、F作直线求出图象与y轴交点坐标即可．

试题解析：（1）∵四边形AOCB为正方形，

∴AB=BC=OC=OA，

设点B坐标为（a，a），

∵S△BOC=8，

∴a2=8，

∴a=±4

又∵点B在第一象限

点B坐标为（4，4），

将点B（4，4）代入y=得，k=16

∴反比例函数解析式为y=

（2）∵运动时间为t，

∴AE=t，BF=2t

∵AB=4，∴BE=4-t，

∴S△BEF=(4-t)•2t=-t2+4t=-（t-2）2+4，

∴当t=2时，△BEF的面积最大；

（3）存在．

当t=时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，）

①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，-），经过点E、F1作直线

由E（，4），F1（4，-）代入y=ax+b得：

解得：

可得直线EF1的解析式是y=-2x+

当y=0时，x=

∴P点的坐标为（，0）

②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（-，4），经过点E1、F作直线

由E1（-，4），F（4，）

设解析式为：y=kx+c，

解得：，

可得直线E1F的解析式是：y=-x+

当x=0时，y=

∴P点的坐标为（0，），

∴P点的坐标分别为（，0）或（0，）．

考点：反比例函数综合题．