Question

如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．

（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；

（2）求证：BF=BD；

（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．

Answer

（1）2π；（2）详见解析；（3）存在，PG=PF时，BP⊥AE

【解析】

试题分析：（1）【解析】
连接OB，OD，

∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，

∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；

（2）证明：连接AC，

∵AB=BE，∴点B为AE的中点，

∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，

∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；

（3）【解析】
过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，

∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，

∵=，∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，

∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．

考点：圆的综合运用