Question

（本题满分6分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB

是⊙O的直径，D是BC的中点．

（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

（2）在上述题设条件下，ΔABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出

结论）．

Answer

（1）AB=AC，见解析；

（2）△ABC为正三角形，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C

【解析】

试题分析：（1）连接AD；由圆周角定理可得AD⊥BC，又D是BC的中点，因此AD是BC的垂直平分线，由此可得出AB=AC的结论．

（2）若E是AC的中点，那么连接BE后，同（1）可证得AB=BC；由（1）知：AB=AC，那么此时AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形．可根据这个结论来添加条件．

试题解析：【解析】
（1）AB=AC

证明：连结AD，则AD⊥BC

又∵BD=DC，∴ AD是线段BD的中垂线

∴ AB=AC

（2）△ABC为正三角形，或AB=BC，或AC=BC，

或∠A=∠B，或∠A=∠C

考点：全等三角形的判定，等腰三角形的性质，圆周角的性质