Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）

（3）不存在，理由详见解析

【解析】

试题分析：∵抛物线经过A、B、C三点，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，

得方程组，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，

若△ABO∽△AP1D，则，

∴DP1=AD=4，

∴P1（﹣1，4），

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，

∵△ABO为等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，

∴P2（1，2），

综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE=

①当P1（﹣1，4）时，

S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|，

∴2|y|=4+|y|，

∴|y|=4

∵点E在x轴下方，

∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0

∴此方程无解；

②当P2（1，2）时，

S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，

∴2|y|=2+|y|，

∴|y|=2

∵点E在x轴下方，

∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．

考点：二次函数综合题.