Question

如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．

（1）线段AB与AC的数量关系是  ，位置关系是  ．

（2）当t=2时，求CF的长；

（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；

（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer

（1）AB=2AC，AB⊥AC；

（2）CF=1；

（3）当t=﹣2时，点C落在线段BD上；点C的坐标为（，﹣1+）；

（4）①当0＜t≤8时， S=﹣t2+t+4；②当t＞8时， S=t2﹣t﹣4；③t=8时，S=0．

【解析】

试题分析：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，

∵AB=2AC，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．

故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；

（2）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF= OA= t．

当t=2时，CF=1；

（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴，

∴AF=OB=2，∴FD=AF=2，．

∵点C落在线段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴，即，

整理 得t2+4t﹣16=0

解得 t=﹣2或t=﹣﹣2（不合题意，舍去）

∴当t=﹣2时，点C落在线段BD上．

此时，CF=t=﹣1，

OF=t+2=，

∴点C的坐标为（，﹣1+）；

（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：

S=BE•CE=（t+2）•（4﹣t）=﹣t2+t+4；

②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF﹣EF=t﹣4

S=BE•CE=（t+2）•（t﹣4）=t2﹣t﹣4；

③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．

考点：相似形综合题