Question

（本题10分）已知：抛物线以点C为顶点且过点B，抛物线以点B为顶点且过点C，分别过点B、C作轴的平行线，交抛物线、于点A、D，E、F分别为AB、CD中点，连结EC、BF，且AE=BF．

（1）如图1，①求证四边形ECFB为正方形；②求点A的坐标；

（2）①如图2，若将抛物线“”改为“”，其他条件不变，求CD的长；

②如图3，若将抛物线“”改为“”，其他条件不变，求的值；

（3）若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，请用含b₂的

代数式表示b₁．

Answer

（1）①详见解析；② A（-1,1）；（2）①2；② ；（3）或

【解析】

试题分析：（1）①由于AB∥x轴，显然点A、B关于抛物线y1=x2的对称轴对称，可得AC=BC，已知AB=AC，那么△ABC必为等边三角形；

②由抛物线y1的解析式设出点A的坐标，再根据△ABC是等边三角形列出点A横、纵坐标的关系式，以此确定点A的坐标．

（2）①若称AB与抛物线y1对称轴的交点为E，可设AE=BE=m（m＞0），在等边△ABC中，CE=m，可用m表示出点B的坐标，代入抛物线解析式中即可求出m的值，则AB的长可求；在（1）的解答过程中，不难看出△ABC、△BCD都是等边三角形，因此由CD=BC=AB即可得解；

②将y1的解析式写成顶点式，即：y1=3（x﹣h）2+k，首先根据等边△ABC的特点表达出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y1的解析式中，由此求得m的值；抛物线y2以点B为顶点，可先写成顶点式，再将点A的坐标代入其中来确定a2的值．

（3）由于这个小题并没有说明按给出的三个图求解，所以还需考虑抛物线y2在y1左侧的情况，但解法是相同的，仍以y2在y1右侧为例进行说明：

在（2）①的解答过程中，我们不难看出CD=AB=m=，而AB的长度正好是两个抛物线对称轴的差的绝对值，那么可以拿CD的长来作为等量关系列出关系式，据此求得b1、b2的关系式．

试题解析：（1）①∵AB∥x轴，∴A、B关于y轴对称，即AC=BC；

又∵AB=AC，∴AB=AC=BC；

即：△ABC是等边三角形．

②设点A的坐标为（x，x2）（x＜0）；

在等边△ABC中，x2=tan60°•（﹣x），解得：x1=0、x2=﹣

∴A（﹣，3）．

（2）设线段AB交抛物线y1的对称轴于点E，AE=BE=m（m＞0）；

①如图（2）﹣①，在Rt△BCE中，BE=m，EC=m，则B（m，m+1）；

由于点B在y1=x2+1的函数图象上，所以有：

m+1=m2+1，解得：m=

∴AB=2BE=2m=2；

同（1）①可知，△BCD、△ABC都是等边三角形，则CD=AB=2．

②设抛物线y1=3x2+b1x+c1=3（x﹣h）2+k，则C（h，k）、B（h+m，k+m）；

由于点B在y1=3（x﹣h）2+k上，有：

k+m=3m2+k，解得：m=

∴B（h+，k+1）；

则抛物线y2=a2（x﹣h﹣）2+k+1，代入C（h，k），得：

a2×+k+1=k，解得：a2=﹣3．

（3）由（2）②知，a2=﹣a1；

由（2）①知，CD=AB=m=|﹣﹣（﹣）|=||，

而m=||（由（2）的解答过程可知），则：

||=||，解得：b1+b2=±2；

即：或 ．

考点: 二次函数综合题