Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)，与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点C．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．

Answer

（1） （2），P（） 

（3）（――1， 1）、（―1， 1）

【解析】试题分析：（1）因为y＝ax2＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)

所以，解得

将A(―1，―4)代入y＝ax2＋2x＋c

所以c=-3

所以该函数解析式为

（2）如图，连接OP，

设点P（m，），（―3＜m＜0）

∴S△PBC＝S△OPC＋S△OPB―S△BOC

＝×3×（）＋×3×（―m）―×3×3

＝―m―m

＝―

∴当m＝―，即P（）

∴S△PBC有最大值为．

（3）抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点B，与x轴交于点C、D

所以B（0，-3），C（-3,0），D（1,0）

因为点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点

若四边形ABEF为平行四边形

则E可为（――1， 1）、（―1， 1）

本题涉及了二次函数的解析式和几何意义，该题是常考题，主要考查学生对二次函数解析式系数与图像的关系，明确在直角坐标系中几何图形的意义。