Question

如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

Answer

（1）∠PEF=45°，∠BAP=45°+45°=90°，AB=AP且AB⊥AP．（2）AP⊥B

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；

（2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．

试题解析：（1）AB=AP且AB⊥AP，

证明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°-∠ACB）=45°，

又∵△ABC与△EFP全等，

同理可证∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP．

（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，

证明：延长BQ交AP于G，

由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，

∴∠PQC=45°=∠QPC，

∴CQ=CP，

∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，

∴在△BCQ和△ACP中

BC＝AC

∠BCQ＝∠ACP

CQ＝CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠CQB=∠AQG，

∴∠AQG+∠PAC=90°，

∴∠AGQ=180°-90°=90°，

∴AP⊥BQ．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形