Question

已知：△ABC中，AE平分∠BAC。

（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C =70°，∠B =30°，则∠DAE=           ；

（2）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，求∠EFG的度数；

（3）在（2）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的角度大小发生改变吗？说明理由．

Answer

（1）20°；（2）20°；（3）20°．

【解析】

试题分析：（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC；

（2）推出AD∥FG，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE，代入即可．

（3）推出AD∥FG，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE，代入即可．

试题解析：（1）∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=30°，∠C=70°，

∴∠BAE=∠EAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-30°-70°）=40°．

在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=70°，

∴∠DAC=90°-70°=20°，

∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°．

（2）∵∠B=40°，∠C=80°，

∴∠DAE=×80°-×40°=20°，

∵AD⊥BC，FG⊥BC，

∴∠ADE=∠FGE=90°，

∴AD∥FG，

∴∠EFG=∠DAE=20°；

（3）∠EFG的度数大小不发生改变，

理由是：∵AD⊥BC，FG⊥BC，

∴∠ADE=∠FGE=90°，

∴AD∥FG，

∴∠EFG=∠DAE=20°．

考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高．