Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：

（1）在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数有    个；

（3）在图2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N利用（1）的结论，试求∠P的度数；

（4）在图3中，如果∠B和∠C为任意角，并且AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系是    （直接写出结论即可）．

Answer

（1）∠A+∠C=∠B+∠D；（2）6个；（3）78°；（4）∠B+∠C

【解析】

试题分析：（1）根据对顶角相等和三角形内角和定理可得解；

（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；

（3）在图2中，由∠C=80°，∠B=76°，可求∠P的度数；

（4）由（3）中的结论可得解.

试题解析：（1）在△AOC中，∠AOC=180°-∠A-∠C，

在△DOB中，∠BOD=180°-∠D-∠B，

∵∠AOC=∠BOD

∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B

∴∠A+∠C=∠B+∠D

（2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠B＝76°，∠C＝80°，

∴∠OAC+80°=∠ODB+76°，

∴∠ODB-∠OAC =4°，

∵AP、DP分别是∠CAO、∠BDO的角平分线

∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P

∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO=(∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°

（4）由（3）可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO，

当AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线时，则有

∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

∴∠P=(∠CAO-∠BDO)+∠C,

又∵由（3）知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C

∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C

考点：1.三角形内角和定理；2.对顶角相等