Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a．直线y=bx+c交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足-(a-4)²≥0，

（1）求直线y=bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标；

（2）直线y=bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，求的值

Answer

（1）y=2x+8，D（2，2）；（2）存在，5；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用非负数的性质求出a，b，c的值，进而确定出直线y=bx+c，得到正方形的边长，即可确定出D坐标；

（2）存在，理由为：对于直线y=2x+8，令y=0求出x的值，确定出E坐标，根据题意得：当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积，设平移后的直线方程为y=2x+t，将D坐标代入求出b的值，确定出平移后直线解析式，进而确定出此直线与x轴的交点，从而求出平移距离，得到t的值；

过P点作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用角平分线定理得到PH=PQ，利用AAS得到三角形OPH与三角形MPQ全等，得到OH=QM，根据四边形CNPG为正方形，得到PG=BQ=CN，由三角形CGP为等腰直角三角形得到CP=GP=BM，即可求出所求式子的值．

试题解析：（1）∵-（a-4）2≥0，，

∴a=4，b=2，c=8，

∴直线y=bx+c的解析式为：y=2x+8，

∵正方形OABC的对角线的交点D，且正方形边长为4，

∴D（2，2）；

（2）存在，理由为：

对于直线y=2x+8，

当y=0时，x=-4，

∴E点的坐标为（-4，0），

根据题意得：当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积，

设平移后的直线为y=2x+t，

代入D点坐标（2，2），

得：2=4+t，即t=-2，

∴平移后的直线方程为y=2x-2，

令y=0，得到x=1，

∴此时直线和x轴的交点坐标为（1，0），平移的距离为1-（-4）=5，

则t=5秒；

（3）过P点作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，

∵∠OPM=∠HPQ=90°，

∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，

∴∠OPH=∠MPQ，

∵AC为∠BAO平分线，且PH⊥OA，PQ⊥AB，

∴PH=PQ，

在△OPH和△MPQ中，

，

∴△OPH≌△MPQ（AAS），

∴OH=QM，

∵四边形CNPG为正方形，

∴PG=BQ=CN，

∴CP=PG=BM，

即．

考点：一次函数综合题．