Question

如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)连接OD、CD，求证：∠ODC=45⁰；

(2)连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；

(3)若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求⊿OCA的面积。

Answer

(1)证明见解析；（2）135°；（3）.

【解析】

试题分析：（1）过C点、D点向x轴、y轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证；

（2）连接DA，证△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2，根据勾股定理逆定理可证∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；

（3）作CF⊥OA，F为垂足，有CF2=CE2-EF2，CF2=CA2-AF2=CA2-（AE+EF）2，设EF=x，列出关于x的方程，求得x=，再在Rt△CEF中，根据勾股定理求得CF=，然后由三角形的面积公式即可求解．

试题解析：（1）证明：过C点、D点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N．

∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），

∴OM=ON=a，CM=DN=b，

∴△OCM≌△ODN（SAS），

∴∠COM=∠DON．

∵∠DON+∠MOD=90°，

∴∠COM+∠MOD=90°，

∵OC=OD=，

∴△COD是等腰直角三角形，

∴∠ODC=45°；

（2）连接DA．

在△OCB与△ODA中，

，

∴△OCB≌△ODA（SAS），

∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．

∵OC=OD=2，

∴CD=2．

∵AD2+CD2=1+8=9，AC2=9，

∴AD2+CD2=AC2，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）作CF⊥OA，F为垂足，由勾股定理得

CF2=CE2-EF2，CF2=CA2-AF2=CA2-（AE+EF）2，

设EF=x，可得52-x2=72-（3+x）2，

解得x=．

在Rt△CEF中，得CF=，

∴OF=CF=，

∴△OCA的面积=•OA•CF==.

考点: 1.勾股定理；2.全等三角形的判定与性质．