Question

如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF。

（1）求证：2EF=CD；

（2）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是矩形；

（3）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；

（4）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是正方形。

Answer

（1）证明见解析；（2）EF⊥BC；（3）BC=2EF，（4）EF⊥BC且BC=2EF．

【解析】

试题分析：（1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可；

（2）利用矩形的判定方法得出即可；

（3）利用菱形的判定方法得出即可；

（4）利用正方形的判定方法得出即可．

试题解析：（1）证明：∵平行四边形ABCD，

∴点F为AC，BD的中点，

又∵E是BC的中点，

∴EF为△DBC的中位线，

∴2EF=CD；

（2）EF⊥BC；

理由：∵EF为△DBC的中位线，EF⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（3）BC=2EF，

理由：∵点E为BC的中点，且BC=2EF

∴EF=BE=EC，

∴∠EBF=∠BFE，∠EFC=∠ECF

又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°

∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（4）EF⊥BC且BC=2EF．

理由：由（2）（3）可得：

当EF与BC满足EF⊥BC且BC=2EF时，四边形ABCD是正方形．

考点：1.正方形的判定；2.三角形中位线定理；3.平行四边形的性质；4.菱形的判定；5.矩形的判定．