Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）16；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．

（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．

（1）如图，过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，

∴．∴CD=16.

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，解得t=2．

此时，BP=DQ=4，CQ=12，∴.

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=.

（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图，

，解得.

②当点P在线段BC上时，即时，如图，BP=3t-10，CQ=16-2t，

∴，化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，

∴方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即，则有PQ=34-5t，

，解得＜6，舍去.

若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t-34，

，解得.

综上所述，满足条件的t存在，其值分别为.

考点：1.双动点问题；2.平行四边形的性质；3.一元二次方程的应用；4.直角梯形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．