Question

（1）如图1，已知△ABC，以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE.求证：⑴CD＝BE.

（2）如图2，已知△ABC，以边AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接CD、BE，CD与BE有什么数量关系？（直接写结果，不需要过程）.

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长.

Answer

（1）证明见解析

（2）BE=CD

（3）BE的长为米

【解析】

试题分析：（1）由已知可得AD=AB,AC=AE, ∠CAD＝∠EAB，利用SAS即可判定△CAD≌△EAB，从而得到CD＝BE

（2）利用SAS即可判定△CAD≌△EAB，得到CD＝BE

（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过点A向△ABC外作等腰直角三角形ABD，使∠BAD=900，则AD=AB=100米，∠ABD=450∴BD=100米，由已知可得∠DBC=900，由勾股定理可得CD长，由（2）可得BE=CD，从而知BE长

试题解析：(1) ∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=600,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.即∠CAD＝∠EAB.

∴△CAD≌△EAB.∴BE=CD.

BE=CD

由（1）、（2）的解题经验可知，过点A向△ABC外作等腰直角三角形ABD，使∠BAD=900,则AD=AB=100米，∠ABD=450∴BD=100米.

如图连接CD,则由（2）可得BE=CD.

∵∠ABC=450∴∠DBC=900.

在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米,

∴CD=（米）

∴BE的长为米

考点：1、等边三角形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理