Question

如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形AECF的面积不变．；△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，.

【解析】

试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

试题解析：（1）证明：连接AC，如图所示，

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD为等边三角形，

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE=CF；

（2）【解析】
四边形AECF的面积不变．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF，

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC== ，

结论1：S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=S菱形ABCD﹣S△AEF

结论2：△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化。

当AE最短时，△CEF的面积有最大值．

S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=

考点：1.菱形的性质；2.二次函数的最值；3.全等三角形的判定与性质；4.等边三角形的性质．