Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF、FD．

（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形.

【解析】

试题分析：（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB=AC，BD=CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．

试题解析：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AFE和△DCE中，

，

∴△AFE≌△DCE（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，

理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴四边形AFBD是矩形．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定．