Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：

①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；

②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为　_________　（直接写出结果，不需要写出计算过程）．

Answer

（1）证明见解析；

（2）GE=BE+GD成立，理由见解析；

（3）①DE=10；

②△ABC的面积为15．

【解析】

试题分析：（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；

（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；

（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；

②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积．

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，

∴∠CDF=∠B=90°．

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．理由如下：

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠GCD=45°．

∵△BCE≌△DCF（已证），

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．

∴∠ECG=∠FCG=45°．

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=FG．

∵FG=GD+DF，

∴GE=BE+GD；

（3）①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，

由（2）和题设知：DE=DG+BE，

设DG=x，则AD=12﹣x，DE=x+6，

在Rt△ADE中，由勾股定理，得：

AD2+AE2=DE2

∴62+（12﹣x）2=（x+6）2

解得x=4．

∴DE=6+4=10；

②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合，

可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，

∴∠EAG=∠E=∠G=90°，

AE=AG=AD，

BD=EB=2，

DC=CG=3，

∴四边形AEFG为正方形，

设正方形的边长为x，

可得BF=x﹣2，CF=x﹣3，

在Rt△BCF中，

根据勾股定理得：

BF2+CF2=BC2，

即（x﹣2）2+（x﹣3）2=（2+3）2，

解得：x=6或x=﹣1（舍去），

∴AD=6，

则S△ABC=BC•AD=15．

考点：1.等腰三角形的判定2.全等三角形的判定与性质3.勾股定理4.正方形的判定．