Question

如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°。

（1）如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由。

（2）当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂。

猜想：S₁与S₂有怎样的数量关系？并证明你的猜想。

Answer

(1) DF∥AC;(2) S1=S2.

【解析】

试题分析：（1)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

（2）过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依据ASA求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根据等底等高的三角形面积相等．

试题解析：（1）DF∥AC；

【解析】
如图②所示，

∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，

∴∠A=∠CDE=60°，

∵AC=DC，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°=∠CDE，

∴DF∥AC，

∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，

∴DF=DC=AC；

（2）猜想：S1=S2；

证明：过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，

∵∠ECD=90°，

∴∠DCM=90°

∴∠DCN=90°-∠NCM，

又∵∠ACM=90°-∠NCM，

∴∠ACM=∠DCN，

在△ACM与△DCN中

∠ACM＝∠DCN

AC＝CD

∠AMC＝∠DNC，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴AM=DN，

又∵CE=BC，

∴BC•DN=CE•AM，

即S1=S2．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．