Question

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．

（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；

问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．

Answer

(1) △OMN为等腰三角形，理由见解析；（2）△AGD是直角三角形，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．

（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．

试题解析：：（1）取AC中点P，连接PF，PE，

可知PE=，

PE∥AB，

∴∠PEF=∠ANF，

同理PF=，

PF∥CD，

∴∠PFE=∠CME，

又PE=PF，

∴∠PFE=∠PEF，

∴∠OMN=∠ONM，

∴△OMN为等腰三角形．

（2）判断出△AGD是直角三角形．

证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点，

∴HF∥AB，HF=AB，

同理，HE∥CD，HE=CD，

∵AB=CD

∴HF=HE，

∵∠EFC=60°，

∴∠HEF=60°，

∴∠HEF=∠HFE=60°，

∴△EHF是等边三角形，

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

∴△AGF是等边三角形．

∵AF=FD，

∴GF=FD，

∴∠FGD=∠FDG=30°

∴∠AGD=90°

即△AGD是直角三角形．

考点：1．三角形中位线定理；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理．