Question

如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．

(1) 求证：∠EDG=45°．

(2) 如图2，E为BC的中点，连接BF．

①求证：BF∥DE；

②若正方形边长为6，求线段AG的长．

(3) 当BE︰EC=         时，DE=DG．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析，2；（3）.

【解析】

试题分析：（1）易证△DGA≌△DGF，知∠3＝∠4，由折叠得∠1＝∠2，所以∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°；

（2）如图2由折叠易知∠5＝∠6，再由三角形的外角知∠5＝∠DEC，得证BF∥DE；由勾股定理可求AG的长；

（3）.

试题解析：（1）证明：如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．

∵ △DEC沿DE折叠得到△DEF，

∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，

∴∠DFG=∠A，DA=DF，

又∵DG=DG，

∴△DGA≌△DGF，

∴∠3＝∠4，

∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．

(2) ①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点

∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．

∴∠5＝∠6，

∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6

∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC

∴BF∥DE．

②【解析】
设AG=x，则GF=x，BG=6－x，

由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，

∴GE=EF+GF=3+x．

在Rt△GBE中，根据勾股定理得：

解得x=2，即线段AG的长为2．

(3) .

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.平行线的判定；3.勾股定理.