Question

把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm．

（1）求线段DF的长；

（2）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；

（3）求线段EF的长．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由折叠知，BF=DF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得，DF的长；

（2）利用翻折变换的性质得出∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；

（3）本题可利用相似解决，由于折叠，可知BD⊥EF，利用直角三角形相似的性质：对应边成比例求得结果．

（1）由折叠知，BF=DF．

设BF=x,则DF=x，CF=4-x,CD=AB=3

在Rt△DCF中，利用勾股定理得：x2-(4-x)2=32

解得：x=.

（2）连接BE，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∵将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，

∴∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，

∴∠1=∠3，

∴ED=DF=DE=BF，

∴四边形EBFD是菱形；

（3）连接BD，得BD=5cm，利用，易得EF=cm.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质.